Равномерная непрерывность
Определение 28.7: Функция 
называется равномерно непрерывной на множестве 
, если: 
. (в отличие от критерия Коши: 
).
Пояснение: 
Пусть: 
. Тогда: 
Т.е. функция не является равномерно непрерывной на множестве 
.
Теорема 28.3: Непрерывная на отрезке функция – равномерно непрерывна на нём.
Классы интегрируемых функций
Теорема 28.4: Непрерывная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Возможно вы искали - Реферат: Вычисление двойных интегралов методом ячеек
Теорема 28.5: Монотонная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Теорема 28.5: Если функция определена и ограничена на отрезке 
, и если 
можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функции на . Причём общая длина этих интервалов меньше 
. То - интегрируема на .
Замечание: Очевидно, что если - интегрируема на , а 
отличается от только в конечном числе точек, то - интегрируема на и 
.
Существование первообразной
Определение 28.9: Пусть - интегрируема на , 
, тогда: 
функция интегрируема на 
и функция 
называется интегралом с переменным верхним пределом, аналогично функция 
- интеграл с переменным нижним пределом.
Теорема 28.6: Если функция - непрерывна на , то у неё существует на первообразная, одна из которых равна: , где .
Замечание 1: Из дифференцируемости функции 
следует её непрерывность, т.е. 
Замечание 2: Поскольку 
- одна из первообразных , то по определению неопределённого интеграла и теореме о разности первообразных: 
. Это связь между определённым и неопределённым интегралами
Похожий материал - Реферат: Вычисление интеграла фукции f (x) (методом Симпсона WinWord)
Интегрирование подстановкой
Пусть для вычисления интеграла 
от непрерывной функции сделана подстановка 
.
Теорема. Если 1. Функция и ее производная 
непрерывны при 
2. множеством значений функции при является отрезок [a;b]
3. 
, то =
.
Очень интересно - Реферат: Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры
Док-во: Пусть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке [a;b]. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница =
. Т.к. 
, то 
является первообразной для функции 
, . Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница имеем
=
.
Формула замены переменной в определенном интеграле.
1. при вычислении опред. интег-ла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;
2. часто вместо подстановки применяют подстановку t=g(x)
Вам будет интересно - Реферат: Вычисление корней нелинейного уравнения
3. не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.
Интегрирование заменой переменной .
а). Метод подведения под знак дифференциала
Пусть требуется вычислить интеграл 
. Предположим, что существуют дифференцируемая функция 
и функция 
такие, что подынтегральное выражение 
может быть записано в виде:
.
Похожий материал - Реферат: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников
Тогда: 
. Т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла 
(который может оказаться проще) и последующей подстановке .
Пример: Вычислить 
.
.
Подстановка: 
.