1. Сопряженный оператор.
2. Сопряженная однородная задача.
3. Условия разрешимости.
Сопряженный оператор.
Обозначим через 
дифференциальный оператор второго порядка, т.е.
(1)
Возможно вы искали - Реферат: Двойной интеграл в полярных координатах
где 
представляют собой непрерывные функции в промежутке 
. Если 
и 
- дважды непрерывно дифференцируемые на функции, то имеем:
(2)
Как и в предыдущем параграфе, интегрирование соотношения (2) по частям дает:
(3)
Обозначим дифференциальный оператор, входящий в подынтегральное выражение в правой части (3) через 
, т.е. 
(4)
Похожий материал - Реферат: Двойственный симплекс-метод и доказательство теоремы двойственности
При этом соотношение (3) перепишется так:
(5)
Оператор называется сопряженным по отношению к оператору . Умножая соотношение (4) на 
и интегрируя полученный результат по частям, по отношению к оператору . Таким образом, операторы и взаимно сопряжены.
Как и в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение:
(6)
Очень интересно - Реферат: Дедуктивные умозаключения в начальной школе
будем называть сопряженным дифференциальному уравнению:
(7)
Если же 
, то оператор и дифференциальное уравнение будем называть сопряженными. Сравнивая выражения (1) и (5), приходим к выводу, что тогда и только, когда:
Таким образом, оператор будем самосопряженным тогда и только тогда, когда 
.
Вам будет интересно - Реферат: Десятичные дроби
При этом:
Так как любое дифференциальное уравнение вида (7) можно преобразовать в самосопряженную форму, умножив на функцию 
.
Дифференцируя соотношение (5) по 
, получаем так называемую формулу Лагранжа:
(8)
Похожий материал - Курсовая работа: Дзета функция Римана
Правая часть этой формулы может быть записана как:
(9)
где
(10)