Реферат: Лекции по Линейной алгебре

Математика
164

Абстрактная теория групп


  1. Понятие абстрактной группы.

1.Понятие алгебраической операции.

Говорят, что на множестве X определена алгебраическая операция (*), если каждой упорядоченной паре элементов поставлен в соответствие некоторый элемент называемый их произведением.

Примеры.

  1. Композиция перемещений на множествах является алгебраической операцией.

  2. Возможно вы искали - Реферат: Лекции по Математическому анализу

    Композиция подстановок является алгебраической операцией на множестве всех подстановок степени n.

  3. Алгебраическими операциями будут и обычные операции сложения, вычитания и умножения на множествах соответственно целых, вещественных и комплексных чисел. Операция деления не будет алгебраической операцией на этих множествах, поскольку частное не определено при . Однако на множествах , это будет алгебраическая операция.

  4. Сложение векторов является алгебраической операцией на множестве .

  5. Векторное произведение будет алгебраической операцией на множестве .

  6. Умножение матриц будет алгебраической операцией на множестве всех квадратных матриц данного порядка.

Похожий материал - Реферат: Методика обучения математике как учебный предмет. Принципы построения курса математики в начальной школе.

2.Свойства алгебраических операций.

  1. Операция (*) называется ассоциативной, если .

Это свойство выполняется во всех приведенных выше примерах, за исключением операций вычитания ( и деления) и операции векторного умножения векторов. Наличие свойства ассоциативности позволяет определить произведение любого конечного множества элементов. Например, если , . В частности можно определить степени с натуральным показателем: . При этом имеют место обычные законы: , .

2. Операция (*) называется коммутативной, если

В приведенных выше примерах операция коммутативна в примерах 3 и 4 и не коммутативна в остальных случаях. Отметим, что для коммутативной операции

  1. Очень интересно - Реферат: Линейная Алгебра. Теория групп

    Элемент называется нейтральным для алгебраической операции (*) на множестве X, если . В примерах 1-6 нейтральными элементами будут соответственно тождественное перемещение, тождественная перестановка, числа 0 и 1 для сложения и умножения соответственно (для вычитания нейтральный элемент отсутствует !), нулевой вектор, единичная матрица. Для векторного произведения нейтральный элемент отсутствует. Отметим, что нейтральный элемент (если он существует) определен однозначно. В самом деле, если - нейтральные элементы, то . Наличие нейтрального элемента позволяет определить степень с нулевым показателем: .

  2. Допустим, что для операции (*) на X существует нейтральный элемент. Элемент называется обратным для элемента , если . Отметим, что по определению . Все перемещения обратимы также как и все подстановки. Относительно операции сложения все числа обратимы, а относительно умножения обратимы все числа, кроме нуля. Обратимые матрицы - это в точности все матрицы с ненулевым определителем. Если элемент x обратим, то определены степени с отрицательным показателем: . Наконец, отметим, что если x и y обратимы, то элемент также обратим и . (Сначала мы одеваем рубашку, а потом куртку; раздеваемся же в обратном порядке!).

Определение (абстрактной) группы.

Пусть на множестве G определена алгебраическая операция (*). (G ,*) называется группой, если

  1. Операция (*) ассоциативна на G.

  2. Вам будет интересно - Реферат: Лекции по линейной алгебре (МГИЕМ, ФПМ)

    Для этой операции существует нейтральный элемент e (единица группы).

  3. Каждый элемент из G обратим.

Примеры групп.

  1. Любая группа преобразований.

  2. (Z, +), (R, +), (C, +).

  3. Похожий материал - Шпаргалка: Лекции по матану (III семестр) переходящие в шпоры

  4. Матричные группы: - невырожденные квадратные матрицы порядка n, ортогональные матрицы того же порядка, ортогональные матрицы с определителем 1.

  5. Простейшие свойства групп.

  6. В любой группе выполняется закон сокращения: (левый закон сокращения; аналогично, имеет место и правый закон). Доказательство. Домножим равенство слева на и воспользуемся свойством ассоциативности: .