Kalmiik-forever
Глава I
Преобразование Фурье.
§1. Класс Шварца.
Преобразование Фурье отображает класс Шварца на себя.
Определение . Следующее множество комплекснозначных функций действительного переменного называется классом Шварца.
.
Класс Шварца иногда называют классом быстро убывающих функций.
Возможно вы искали - Реферат: Преобразования плоскости, движение
Операции обычного сложения и умножения функции на число превращают класс Шварца в линейное векторное пространство:
"j,yÎS(R), a, bÎКвыполнено aj+byÎS(R).
Отметим несколько простых свойств функций из класса Шварца.
1) Если j(x)ÎS(R),то 
2) Если j(x)ÎS(R),то j(x) ограничена на R.
Похожий материал - Реферат: Преобразования фигур
3) Еслиj(x)ÎS(R),тоy(x)=xj(x)ÎS.
4) Если j(x)ÎS(R) и P(x) – многочлен, то P(x)j(x)ÎS.
5) Если j(x)ÎS(R),то 
.
Доказательство. Первые два свойства сразу следуют из неравенств
.
Докажем свойство 3). Во первых, y=xjÎC∞ (R). Далее,
.
Очень интересно - Курсовая работа: Приближённые методы решения алгебраического уравнения
Свойство 4) получается из 3) последовательным применением. В самом деле, если P(x)=a0 +a1 x+…+an xn , то по свойству 3) имеем xi jÎS(R), потому функция P(x)j(x)=a0 j+a1 (xj)+a2 (x2 j)+…+an (xn j) принадлежит классу Шварца ввиду его линейности.
Свойство 5) доказывается аналогично свойству 3).
§2. Одномерное преобразование Фурье.
Определение. Функция
(1)
называется преобразованием Фурье функции j(x) и обозначается F[j]. Ясно, что не для всякой функции j(x) интеграл (1) сходится, и потому не для всякой функции определено преобразование Фурье.
Вам будет интересно - Реферат: Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева
Если 
(интеграл Лебега), то будем говорить, что j принадлежит пространству L1 (R).
Предложение 1. Преобразование Фурье функции j(x) из L1 (R) определено и ограничено по модулю на действительной оси.
Доказательство следует из равенства 
и (1):
Следствие. Преобразование Фурье определено для функций jÎS(R).
Доказательство. Достаточно доказать, что S(R)ÌL1 (R). Заметим, что если jÎS(R), то по свойству 4) функция (1+x2 )jÎS(R) и, следовательно, ограничена, а (1+x2 )-1 ÎL1 (R). Поэтому функция (1+x2 )j(1+x2 )-1 ÎL1 (R).
§3. Свойства преобразований Фурье функций из S ( R ).
Похожий материал - Реферат: Приближенное вычисление определенных интегралов
1) 
Доказательство получается дифференцированием в (1) под знаком интеграла. Это законно, так как интеграл, полученный после дифференцирования, мажорируется интегралом
сходимость которого вытекает из свойства 3): xj(x)ÎS(R)ÌL1 (R).
2) Если jÎS(R), то F[j]ÎC¥ (R).