I. Масса неоднородного тела. Тройной интеграл.
II. Вычисление тройных интегралов.
1. Декартовы координаты.
А) Пример.
2. Цилиндрические координаты.
Возможно вы искали - Реферат: Разностные аппроксимации
3. Сферические координаты.
А) Пример.
4. Применение тройных интегралов.
I.Масса неоднородного тела. Тройной интеграл.
Рассмотрим тело, занимающее пространственную область 
(рис. 1), и предположим, что плотность распределения массы в этом теле является непрерывной функцией координат точек тела:
Единица измерения плотности - кг/м3 .
 |
Похожий материал - Реферат: Принятие решений в условиях неопределенности
Рис. 1.
Разобьем тело произвольным образом на n частей; объемы этих частей обозначим 
Выберем затем в каждой части по произвольной точке 
Полагая, что в, каждой частичной области плотность постоянна и равна ее значению в точке 
, мы получим приближенное выражение для массы всего тела в виде суммы
(*)
Предел этой суммы при условии, что 
и каждое частичное тело стягивается в точку (т. е. что его диаметр ) стремится к нулю), и даст массу М тела
Сумма (*) называется n-й интегральной суммой, а ее предел - тройным интегралом от функции 
по пространственной области .
К вычислению тройного интеграла, помимо определения массы тела, приводят и другие задачи. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать тройной интеграл
Очень интересно - Реферат: Программа государственного экзамена по математике для студентов математического факультета Московского городского педагогического университета
где 
- произвольная непрерывная в области функция.
Терминология для тройных интегралов совпадает с соответствующей терминологией для двойных интегралов. Точно так же формулируется и теорема существования тройного интеграла .
Свойства двойных интегралов, полностью переносятся на тройные интегралы. Заметим только, что если подынтегральная функция тождественно равна 1, то тройной интеграл выражает объем V области :
Потому свойства V и VI надо теперьсформулировать следующим образом.
V 1 . Если функция во всех точках области интегрирования удовлетворяет неравенствам
Вам будет интересно - Реферат: Проективная геометрия
то
где V - объем области .
VI 1 . Тройной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке области интегрирования на объем области интегрирования, т. е.
II. Вычисление тройных интегралов.
Вычисление тройногоинтеграла 
может бытьосуществлено посредством ряда последовательных интегрировании. Мы ограничимся описанием соответствующих правил.
1. Декартовы координаты.
Пусть дан тройной интеграл от функции
Похожий материал - Реферат: Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике
причем область отнесена к системе декартовых координат Oxyz, Разобьем область интегрирования и плоскостями, параллельнымикоординатным плоскостям. Тогда частичными областями будут параллелепипеды с гранями, параллельными плоскостям Оху, Ох z , Оу z . Элемент объема .будет равен, произведению дифференциалов переменных интегрирования
В соответствии с этим будем писать
Установим теперь правило для вычисления такого интеграла.