Колебаниями называются процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется координата центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и сила тока. Физическая природа колебаний может быть разной, однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Рассмотрим механические колебания.
Гармонические колебания.
Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых изменяющаяся величина изменяется по закону синуса (косинуса).
Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в естественном состоянии равна 
. Груз слегка оттянут книзу и затем отпущен. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха.
Решение
Направим ось Ох вниз по вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса груза. Начало координат О выберем в положении равновесии груз, то есть в точке, в которой вес груза уравновешивается силой натяжения пружины.
Возможно вы искали - Курсовая работа: Алгебраические расширения полей
Пусть l означает удлинение пружины в данный момент, а lст —статическое удлинение, т.е. расстояние от конца нерастянутой пружины до положения равновесия. Тогда l=lст +х, или l-lст =х.
Дифференциальное уравнение получим из второго закона Ньютона: F=ma, где m=P/g—масса груза а—ускорение движения и F—равнодей-ствующая приложенных к грузу сил. В данном случае равнодействующая слагается из силы натяжения пружины и силы тяжести.
По закону Гука сила натяжения пружины пропорциональна её удлинению: Fупр =-сl, где с – постоянный коэффициент пропорциональности называемый жесткостью пружины.
Так как в положении равновесия сила равновесия сила натяжения пружины уравновешивается весом тела, то P= сlст . Подставим в дифференциальное уравнение выражение Р и заменим l-lст через х, получится уравнение в виде:
Похожий материал - Курсовая работа: Дисперсионный анализ
или, обозначив с/m через k2 ,
(1)
Полученное уравнение определяет так называемые свободные колебания груза. Оно называется уравнением гармонического осциллятора. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:
Очень интересно - Реферат: Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом
имеет мнимые корни 
, соответственно этому общее решение
Для выяснения физического смысла решения удобнее привести его к другой форме, введя новые произвольные постоянные. Умножив и разделив на 
, получим:
Если положить
Вам будет интересно - Курсовая работа: Дзета функция Римана
то
(2)
График гармонических колебаний имеет вид:
Похожий материал - Дипломная работа: Некоторые вопросы анализа деловых проблем
Таким образом, груз совершает гармонические колебания около положения равновесия.
Величину А называют амплитудой колебания, а аргумент 
— фазой колебания. Значение фазы при t=o т.e. величина 
, называется начальной фазой колебания. Величина 
есть частота колебания. Период колебания 
и частота k зависят только от жесткости пружины и от массы системы. Так как с = Р/lст = mg/lст , то для периода можно получить также формулу:
Скорость движения груза получается дифференцированием решения по t: