Курсовая работа на тему :
«Дзета-функция Римана»
Выполнил: студент 2го курса ФМФ группы «Б» Симонян Сергей Олегович
Ставрополь, 2004 г.
Введение.
Функция – одно из основных понятий во всех естественнонаучных дисциплинах. Не случайно ещё в средней школе дети получают интуитивное представление об этом понятии. Со школьной скамьи наш багаж знаний пополняется сведениями о таких функциях как линейная, квадратичная, степенная, показательная, тригонометрические и других. В курсе высшей математики круг известных функций значительно расширяется. Сюда добавляются интегральные и гиперболические функции, эйлеровы интегралы (гамма- и бета-функции), тета-функции, функции Якоби и многие другие.
Что же такое функция? Строгого определения для неё не существует. Это понятие является в математике первичным, аксиоматизируется. Однако, под функцией понимают закон, правило, по которому каждому элементу какого-то множества X ставится в соответствие один или несколько элементов множества Y . Элементы множества X называются аргументами, а множества Y – значениями функции. Если каждому аргументу соответствует одно значение, функция называется однозначной, если более одного – то многозначной. Синонимом функции является термин «отображение». В простейшем случае множество X может быть подмножеством поля действительных R или комплексных C чисел. Тогда функция называется числовой. Нам будут встречаться только такие отображения.
Функции могут быть заданы многими различными способами: словесным, графическим, с помощью формулы. Функция, которую мы будем рассматривать в этой работе, задаётся через бесконечный ряд. Но, несмотря на такое нестандартное определение, по своему представлению в виде ряда она может быть хорошо изучена методами теории рядов и плодотворно применена к различным теоретическим и прикладным вопросам математики и смежных с ней наук.
Возможно вы искали - Дипломная работа: Некоторые вопросы анализа деловых проблем
Конечно же, речь идёт о знаменитой дзета-функции Римана, имеющей широчайшие применения в теории чисел. Впервые ввёл её в науку великий швейцарский математик и механик Леонард Эйлер и получил многие её свойства. Далее активно занимался изучением дзета-функции немецкий математик Бернгард Риман. В честь него она получила своё название, так как он опубликовал несколько исключительно выдающихся работ, посвящённых этой функции. В них он распространил дзета-функцию на область комплексных чисел, нашёл её аналитическое продолжение, исследовал количество простых чисел, меньших заданного числа, дал точную формулу для нахождения этого числа с участием функции и высказал свою гипотезу о нулях дзета-функции, над доказательством или опровержением которой безрезультатно бьются лучшие умы человечества уже почти 150 лет.
Научная общественность считала и считает решение этой проблемы одной из приоритетных задач. Так Давид Гильберт, выступавший на Международной Парижской математической конференции 1900 году с подведением итогов развития науки и рассмотрением планов на будущее, включил гипотезу Римана в список 23 проблем, подлежащих решению в новом столетии и способных продвинуть науку далеко вперёд. А на рубеже веков, в 2000 году американский The Clay Mathematics Institute назвал семь задач, за решение каждой из которых будет выплачен 1 миллион долларов. В их число также попала гипотеза Римана.
Таким образом, даже бы поверхностное знакомство с дзета-функцией будет и интересным, и полезным.
Глава 1.
Итак, приступим к изучению этой важной и интересной дзета-функции Римана. В данной главе мы получим некоторые свойства функции в вещественной области, исходя из её определения с помощью ряда.
Определение. Дзета-функцией Римана ζ( s ) называют функцию, которая любому действительному числу s ставит в соответствие сумму ряда
Похожий материал - Курсовая работа: Приближённые методы решения алгебраического уравнения
(1)
если она существует.
Основной характеристикой любой функции является область определения. Найдём её для нашей функции.
Пусть сначала s ≤ 0, тогда s =−t , где t принадлежит множеству неотрицательных действительных чисел R + {0}. В этом случае и ряд (1) обращается в ряд , который, очевидно, расходится как при t >0, так и при t =0. То есть значения s ≤ 0 не входят в область определения функции.
Теперь пусть s >0. Для исследования сходимости ряда (1) воспользуемся интегральным признаком Коши. При каждом s рассмотрим функцию , где , которая является на промежутке непрерывной, положительной и монотонно убывающей. Возникает три различных возможности:
Очень интересно - Курсовая работа: Устойчивость систем дифференциальных уравнений
1) 0<s <1. Тогда , поэтому ряд (1) расходится и промежуток (0;1) не входит в область определения дзета-функции;
2) s =1. Получаем , то есть при s =1 дзета-функция Римана также не определена;
3) s >1. В этом случае
. Ряд (1) сходится.
Обобщив результаты, находим, что область определения дзета-функции есть промежуток . На этом промежутке функция оказывается непрерывной и дифференцируемой бесконечное число раз.
Вам будет интересно - Реферат: Новые данные о спутниках больших планет
Докажем непрерывность функции ζ( s ) на области определения. Возьмём произвольное число s 0 >1. Перепишем ряд (1) в виде . Как было выше показано, ряд сходится, а функции при s >s 0 монотонно убывают и все вместе ограничены единицей. Значит, по признаку Абеля для s >s 0 ряд (1) сходится равномерно. Используя теорему о непрерывности суммы функционального ряда, получаем, что в любой точке s >s 0 дзета-функция непрерывна. Ввиду произвольности s 0 ζ ( s ) непрерывна на всей области определения.
Теперь почленным дифференцированием ряда (1), пока формально, найдём производную дзета-функции Римана:
(2).
Чтобы оправдать этот результат, достаточно удостовериться в том, что ряд (2) равномерно сходится на промежутке и воспользоваться теоремой о дифференцировании рядов. Используем тот же приём. Зафиксируем любое s 0 >1 и представим ряд (2) в виде для s >s 0 . Множители , начиная с n =2, монотонно убывают, оставаясь ограниченными числом ln 2. Поэтому по признаку Абеля ряд (2) сходится равномерно при s > s 0 , а значит и при любом s >1. Какое бы значение s >1 ни взять его можно заключить между и , где , а ; к промежутку применима вышеуказанная теорема.
Таким же путём можно убедиться в существовании для дзета-функции производных всех порядков и получить их выражения в виде рядов:
Похожий материал - Реферат: Исследование свойств прямоугольного тетраэдра
.
Попытаемся построить наглядное изображение функции в виде графика. Для этого изучим сначала её поведение на бесконечности и в окрестности точки s =1.
В первом случае, ввиду равномерной сходимости ряда (1), по теореме о почленном переходе к пределу, имеем . При n =1 предел равен единице, остальные пределы равны нулю. Поэтому .
Чтобы исследовать случай , докажем некоторые вспомогательные оценки.