В данной работе рассматриваются метода приближённого вычисления действительных корней алгебраического или трансцендентного уравнения
f(x)=0 (1.1)
на заданном отрезке [a, b].
Уравнение называется алгебраическим, если заданная функция есть полином n-ой степени:
f(x) = P(x) = a0 xn + a1 xn- 1 + … + an -1 x + an = 0, a0 ¹ 0
Возможно вы искали - Курсовая работа: Устойчивость систем дифференциальных уравнений
Требование a0 ¹ 0 обязательно, так как при невыполнении этого условия данное уравнение будет на порядок ниже.
Всякое уравнение (1.1) называется трансцендентным, если в нём невозможно явным образом найти неизвестное, а можно лишь приближённо.
Однако в число алгебраических уравнений можно также включить те уравнения, которое после некоторых преобразований, можно привести к алгебраическому.
Те методы, которые здесь рассматриваются, применимы, как к алгебраическим уравнениям, так и к трансцендентным.
Корнем уравнения (1.1) называется такое число x, где f(x)=0.
Похожий материал - Реферат: Новые данные о спутниках больших планет
При определении приближённых корней уравнения (1.1) необходимо решить две задачи:
отделение корней, т. е. определение достаточно малых промежутков, в каждом из которых заключён один и только один корень уравнения (простой и кратный);
уточнение корней с заданной точностью (верным числом знаков до или после запятой);
Первую задачу можно решить, разбив данный промежуток на достаточно большое количество промежутков, где бы уравнение имело ровно один корень: на концах промежутков имело значения разных знаков. Там где данное условие не выполняется, те промежутки откинуть.
Вторая задача решается непосредственно в методах рассмотренных ниже.
Очень интересно - Реферат: Исследование свойств прямоугольного тетраэдра
При графическом отделении корней уравнения (1.1) нужно последнее преобразовать к виду:
j1 (x)=j2 (x) (2.1)
и построить графики функций y1 =j1 (x), y2 =j2 (x).
Действительно, корнями уравнения (1.1)
f(x) = j1 (x) - j2 (x) = 0
Вам будет интересно - Реферат: Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения
являются абсциссы точек пересечения этих графиков (и только они).
Из всех способов, какими можно уравнение (1.1) преобразовать к виду (2.1) выбираем тот, который обеспечивает наиболее простое построение графиков y1 =j1 (x) и y2 =j2 (x). В частности можно взять j2 (x) = 0 и тогда придём к построению графика функции (1.1), точки пересечения которого с прямой y2 =j2 (x)=0, т. е. с осью абсцисс, и есть искомые корни уравнения (1.0).
Условия, наложенные на функцию f(x) на отрезке [a, b].
Будем предполагать, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] (для метода хорд можно потребовать на интервале) и имеет на этом интервале первую и вторую производные, причём обе они знакопостоянны (в частности отличны от нуля). Будем также предполагать, что функция f(x) принимает на концах отрезка значения разного знака. В силу знакопостоянства первой производной функция f(x) строго монотонна, поэтому при сделанных предположениях уравнение (1.1) имеет в точности один корень на интервале (a, b).
2. Метод дихотомии
Этот метод ещё называется методом вилки.
Похожий материал - Реферат: История математики
Нам необходимо найти корень уравнения (1.1) на отрезке [a, b]. Рассмотрим отрезок [x0 , x1 ]: [x0 , x1 ]Ì[a, b]. Пусть мы нашли такие точки х0 , х1 , что f (х0 ) f(х1 ) £ 0, т. е. на отрезке [х0 , х1 ] лежит не менее одного корня уравнения. Найдём середину отрезка х2 =(х0 +х1 )/2 и вычислим f(х2 ). Из двух половин отрезка выберем ту, для которой выполняется условие
f (х2 ) f(хгран .) £ 0, так как один из корней лежит на этой половине. Затем новый отрезок делим пополам и выберем ту половину, на концах которой функция имеет разные знаки, и т. д. (рис 1.2).
рис. 1.2