В.Кинетические Свойства
§ 6. Кинетическое уравнение
Носители заряда в металле или полупроводнике могут подвергаться действию внешних полей и градиентов температуры. Они также испытывают рассеяние на примесях, колебаниях решетки и т. д. Эти эффекты должны быть сбалансированы — нас интересуют такие ситуации, в которых электрон ускоряется полем, но при рассеянии теряет избыточные энергию и импульс. В этой главе мы рассмотрим «обычные» кинетические свойства, наблюдаемые при наложении постоянных полей.
Общий метод решения этой задачи основан на кинетическом уравнении, или уравнении Болъцмана. Мы рассматриваем функцию fk (r) — локальную концентрацию носителей заряда в состоянии k в окрестности точки r. Строго говоря, эту величину можно определить только в терминах мелкозернистых распределений, средних по ансамблю, матриц плотности и т. д. Имеется обширная литература по этому вопросу, но она относится скорее к формальному аппарату квантовой статистической механики, чем к теории твердого тела.
Посмотрим теперь, какими способами функция fk (r) может изменяться во времени. Возможны процессы трех типов:
1. Носители заряда приходят в область пространства вблизи точки r и уходят из нее. Пусть vk — скорость носителя в состоянии k. Тогда в течение интервала времени t носители заряда в этом состоянии пройдут путь t vk . Следовательно, на основании теоремы Лиувилля об инвариантности фазового объема системы число носителей в окрестности точки r в момент времени t равно числу их в окрестности точки r – t vk в момент времени 0:
fk (r, t ) = fk (r – t vk , 0). (35)
Возможно вы искали - Реферат: Определение угловых скоростей и угловых ускорений звеньев механизма манипулятора по заданному движению рабочей точки
Это означает, что скорость изменения функции распределения из-за диффузии есть
¶fk /¶t ]diff = – vk ׶fk /¶r = – vk ×Ñfk . (36)
2. Внешние поля вызывают изменение волнового вектора k каждого носителя, согласно равенству
(37)
Величину 
можно рассматривать как «скорость» носителя заряда в k-пространстве, так что по аналогии с равенством (35) имеем
(38)
следовательно, под действием полей функция распределения меняется со скоростью
(39)
(мы использовали здесь обозначение ¶fk /¶k для градиента в k-пространстве — оператора Ñk ).
Похожий материал - Реферат: Оптика
3. Влияние процессов рассеяния оказывается более сложным. Мы ограничимся здесь в основном упругим рассеянием. При этом функция fk меняется со скоростью
¶fk /¶t ]scatt = ∫{ fk' (1 – fk ) – fk (l – fk' )}Q(k, k') dk'. (40)
Процесс рассеяния из состояния k в состояние k' приводит к уменьшению fk . Вероятность этого процесса зависит от величины fk — числа носителей в состоянии k, и от разности (1 – fk ' ) — числа свободных мест в конечном состоянии. Имеется также обратный процесс, переход из k' в k, который ведет к увеличению функции fk ; он пропорционален величине fk ' (1 – fk ). Очевидно, надо просуммировать по всевозможным состояниям k'. Для каждой пары значений k и k' существует, однако, «собственная» вероятность перехода Q (k, k'), равная скорости перехода в случае, когда состояние k полностью заполнено, а состояние k' вакантно. Согласно принципу микроскопической обратимости, та же функция дает и скорость перехода из k' в k, поэтому под интегралом появляется общий множитель.
Кинетическое уравнение выражает следующее: для любой точки r и для любого значения k полная скорость изменения функции fk (r) равна нулю, т. е.
¶fk /¶t ]scatt + ¶fk /¶t ]field + ¶fk /¶t ]diff = 0. (41)
Отметим, что здесь рассматривается стационарное, но не обязательно равновесное состояние. Для последнего функция распределения обозначается через f0 k , оно осуществляется только в отсутствие полей и градиентов температуры.
Допустим, однако, что рассматриваемое стационарное распределение не слишком сильно отличается от равновесного.
Положим
gk = fk – f0 k . (42)
Очень интересно - Реферат: Оптика глаза
где
f0 k = 1/{exp[(E k – z)/kT] + 1} (43)
Здесь нужно проявить некоторую осторожность. Именно, как определить функцию f0 k в случае, когда температура зависит от координат? Будем считать, что в каждой точке можно корректно определить локальную температуру T(r), и положим
gk(r)=fk (r) – f0 k {3T(r)}. (44)
Если введение локальной температуры вызывает затруднения, можно потребовать, чтобы окончательное решение удовлетворяло какому-либо дополнительному условию, например
ògk (r)dk = 0. (45)
Подставляя выражение (42) в кинетическое уравнение (41) и используя равенства (7.2) и (7.5), получаем
– vk ׶fk /¶r – e /ħ(E + 1/c[vk ´ H]) ׶fk /¶k = – ¶fk /¶t]scatt , (46)
или
– vk ׶fk /¶T ÑT – e /ħ(E + 1/c[vk ´ H]) ׶ f0 k /¶k = – ¶fk /¶t]scatt + vk ׶gk /¶r + e /ħ(E + 1/c[vk ´ H]) ׶gk /¶k. (47)
Вам будет интересно - Реферат: Оптимизация профиля отражения частотных фильтров излучения с использованием модулированных сверхрешеток
С помощью формулы (43) это уравнение можно переписать в виде
(¶f0 /¶E)vk ×{( E (k) – z) / T×ÑT + e (E – 1/e×Ñz)} = – ¶fk /¶t]scatt + vk ׶gk /¶r + e /ħc[vk ´ H] ׶gk /¶k. (48)
Это — линеаризованное уравнение Больцмана. В нем опущен член (E׶gk /¶k) порядка E2 , соответствующий отклонениям от закона Ома. Отброшен также член vk [vk ´ H], тождественно равный нулю; в левую часть уравнения магнитное поле явно не входит.
Подставляя выражение (40) в уравнение (48), можно убедиться, что мы получили линейное интегро-дифференциальное уравнение относительно «добавки» gk (r) к функции распределения. Функция gk (r) определяется интенсивностью электрического поля и величиной градиента температуры, входящими
в неоднородный член в левой части. Далее в этой главе мы будем отыскивать решения кинетического уравнения для различных случаев в порядке увеличения сложности.
§ 7. Электропроводность
Пусть на систему наложено только электрическое поле E, и в «бесконечной» среде поддерживается постоянная температура. С учетом выражения (40) получаем
(– ¶f0 /¶E)vk ×eE = – (¶f0 /¶t)]scatt = ò(fk – fk ¢ )Q(k,k¢)dk¢= ò(gk – gk ¢ )Q(k,k¢)dk¢ (49)
Это есть простое интегральное уравнение для неизвестной функции gk .
Похожий материал - Реферат: Оптические инструменты, вооружающие глаз
Вместо того чтобы, непосредственно решать его, сделаем феноменологическое предположение:
– ¶fk /¶t]scatt = gk /t (50)
Тем самым мы вводим время релаксации t. При выключении поля любое отклонение gk от равновесного распределения будет затухать по закону
– ¶gk /¶t = gk /t, (51)
или
gk (t) = gk (0)e – t / t . (52)
Подставляя определение (50) в уравнение (49), находим
gk = (– ¶f0 /¶E) tvk ×eE (53)