В 1973 г. Костант в своей работе [1] показал, что если G компактная группа и 
ее алгебра Ли, то для элемента X из подалгебры Картана 
алгебры выполнено равенство
где 
- ортогональная проекция (относительно формы Киллинга); 
- группа Вейля алгебры , 
означает выпуклую оболочку множества A.
Теорема Костанта о выпуклости является обобщением более ранних результатов Шура и Хорна. В 1923 г. Шур доказал, что диагональ 
эрмитовой матрицы A=(aij) порядка n с собственными числами 
содержится в выпуклой оболочке множества 
, где Sn - симметрическая группа, действующая на 
перестановками координат. Затем Хорн показал, что каждая точка этой выпуклой оболочки может быть получена таким способом.
Таким образом, проекция орбиты 
- это выпуклый многогранник с вершинами в точках 
. В 1982 г. Guillemin и Stenberg [2], а также Atiyah [3] дали интерпретацию теоремы Костанта как теоремы о выпуклости отображения моментов. Следующий естественный шаг - нахождение проекции инвариантной меры с орбиты на подалгебру Картана. Существует формула Duistermaat-Heckman'а [4, 5] для преобразования Лапласа проекции инвариантной меры, по которой она может быть восстановлена, но представляет интерес и прямая геометрическая конструкция для нахождения проекции инвариантной меры, которая предложена в этой статье.
2. Предварительные сведения
Возможно вы искали - Доклад: Созвездие "Корабль Арго" (Киль. Корма. Паруса. Компас.)
Пусть - конечномерная вещественная простая компактная алгебра Ли, - ее подалгебра Картана. Группа Ли G алгебры действует на 
с помощью коприсоединенного представления 
: 
, где 
, 
. Определим орбиту элемента :
На каждой орбите 
существует единственная с точностью до пропорциональности инвариантная мера 
, т.е. такая, что для любой непрерывной функции 
и для любого
Пусть 
ортогональная проекция. Определим проекцию меры на 
- это мера 
, задаваемая соотношением:
Похожий материал - Статья: Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)
где - финитная непрерывная функция на . Мера абсолютно непрерывна и 
, где 
- плотность проекции меры . Нахождению плотности и посвящена эта статья.
Введем некоторые обозначения: 
- система корней алгебры 
, 
- множество положительных корней, 
- их полусумма. Пусть 
- решетка весов алгебры , кроме того, пусть 
обозначает множество 
, где 
- камера Вейля. представляет собой множество всех старших весов . Каждому неприводимому представлению группы G соответствует единственный старший вес 
. Если 
- характер этого представления, то формула Кириллова утверждает, что
где
Очень интересно - Статья: Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием
Интеграл в правой части формулы Кириллова можно понимать как обратное преобразование Фурье от функции 
:
Таким образом, формулу Кириллова можно переписать в следующем виде:
Вам будет интересно - Статья: Непараметрический метод обнаружения гармонического сигналана фоне широкополосного шума
или
Пусть 
неприводимое представление . Обозначим множество весов как 
. Если 
, то 
обозначает кратность веса 
в представлении . Известно, что
Поэтому, применяя преобразование Фурье к обеим частям равенства, получаем:
Похожий материал - Статья: Лоренцева функция расстояния и причинность
где 
- дельта-функция в точке . Найдя функцию 
, мы получим выражение для функции :
или