Описание динамического хаоса на языке статистических понятий - функции распределения, средних, стохастических уравнений и т.д. - представляется естественным. Однако, как известно, даже в системе с развитым динамическим хаосом всегда существуют островки регулярного движения в фазовом пространстве или области хаотического движения расположены островками в фазовом пространстве регулярного движения [1]. Статистическое описание в динамических системах, очевидно, может быть справедливым только в области хаотического движения. Но отделить области хаотического движения от областей регулярного движения оказывается весьма сложной задачей. Кроме того, следует учитывать также, что существуют промежуточные области квазипериодического движения, где статистическое описание вряд ли применимо. Те же самые проблемы возникают при переходе к квантовым системам, находящимся в состояниях динамического хаоса, т.е. при описании квантового хаоса. Ниже мы рассматриваем один из возможных способов описания квантового хаоса.
Он заключается в переходе к когерентным состояниям и формулировке уравнения Фоккера-Планка для квазираспределения Глаубера-Сударшана и стохастических уравнений для средних по когерентным состояниям координаты и импульса. Это рассмотрение мы проведем для нелинейного осциллятора Даффинга, взаимодействующего с внешним гармоническим полем. Хаотические свойства такого осциллятора исследовались во многих работах (см.,например, [1-4]).
Пусть гамильтониан одномерного осциллятора Даффинга во внешнем гармоническом поле имеет вид:
где 
и 
- соответственно собственная частота осциллятора и частота внешнего поля с амплитудой F, 
- параметр нелинейности. Здесь масса осциллятора принята равной 1.
Возможно вы искали - Статья: Определение релаксационных констант в модифицированных полимерных материалах методом линейной регрессии
В силу периодичности гамильтониана H(t)=H(t+T), 
- период внешнего поля, можно воспользоваться методом квазиэнергетических состояний (см., например, [5]). В этом методе нестационарную задачу
можно свести к задаче на собственные значения для некоторого эффективного гамильтониана:
где 
- квазиэнергетические состояния при t=0, 
- квазиэнергия, определяемая с точностью до целого числа квантов 
, 
- эффективный гамильтониан, который можно найти, основываясь на гамильтониане (1). Квазиэнергетические состояния обладают свойством
Похожий материал - Статья: Физическая природа массы
Если теперь перейти к представлению взаимодействия
где
Очень интересно - Статья: Адгезионные свойства металлов и полупроводников в рамках диэлектрического формализма
то в силу периодичности потенциала в представлении взаимодействия
волновые функции 
оказываются квазиэнергетическими состояниями. Они подчиняются уравнению
или интегральному уравнению
Вам будет интересно - Статья: Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей
Используя уравнение (9), можно записать оператор эволюции U(t) в виде:
где
Похожий материал - Доклад: Звёзды
Учитывая, что
и имея в виду (3), находим, что