Более 350 лет профессиональные математики и любители пытаются доказать теорему Ферма. Однако до настоящнго времени нет общепризнанного доказательства. Тем не менее, интерес к загадочной теореме не угасает и до настоящего времени остается высоким.
В настоящей статье предлагается к рассмотрению простой метод доказательства, основанный на разделении числового множества yn + xn = zn (1)
на два подмножества, из которых первое содержит только те x и y для всех показателей степени n , которые могут содержатьрешения уравнения (1) в целых числах x , y , z , а второе подмножество содержит только нецелые решения.
Отделить друг от друга упомянутые подмножества представляется возможным путем разложения уравнения (1) на составные части по биному Ньютона и составления на их основе уравнения с учетом принятых ограничений для поиска целых решений. Для этого представим уравнение (1) в виде, удобном для разложения :
(x - a)n + xn –(x+b)n = 0 (2)
Возможно вы искали - Реферат: Алгебра логики
Здесь: x – переменное число, а < x – целое число; n – целое число, показатель степени; b – целое или нецелое число, в зависимости от соотношения x , a , и n .
Сущность доказательства заключается в определении подходящих значений x,y,zдля удовлетворения уравнений ( 1 ) и ( 2 ) методом последовательных приближений. Задача решается применительно к 450 сектору I квадранта в плоскостных координатах (x,y), т.к. из-за недостатка информации координата z равна 0. Полученные результаты могут быть распространены на остальные 7 секторов плоскости(x,y), определяя тем самым область распространения условий теоремы Ферма.
Итак, применяя формулу бинома Ньютона к выражению (2), получим:
(x–a)n + xn = 2xn - nxn-1 a + cn 2 xn-2 a2 - cn 3 xn-3 a3 ...... + an
(x+b)n = xn +nxn-1 b + cn 2 xn-2 b2 + cn 3 xn-3 b3 .......+bn
Похожий материал - Реферат: Условия образования шаровой молнии
D = xn - nxn-1 (a+b) + cn 2 xn-2 (a2 -b2 ) - cn 3 xn-3 (a3 +b3 )..+(an + bn ) =0
(3)
Назовем выражение (3) основным уравнением в поисках целых решений уравнения (2). Подходящие значения x , y =( x – a ), z =( x + b ), удовлетворяющие уравнениям (1) и (2), будем искать при условии a = b =1. Обоснование принятых допущений (ограничений) изложено ниже. Полагая a = b , уравнение (3) преобразуем к виду:
xn - 2nxn-1 a - 2cn 3 xn-3 a3 - 2cn 5 xn-5 a5 - ... (an + an )=0 (4)
ОбозначимчерезP(a,n) = 2cn 3 xn-3 a3 + 2cn 5 xn-5 a5 +... ( an + an ) - добавку после первых двух членов уравнения (4). Тогда уравнение (4) примет вид:
xn - 2nxn-1 a - P(a,n) = 0
Очень интересно - Доклад: О возможности изменения гравитационного воздействия
Разделив все члены уравнения на xn -1 , получим выражение для искомого x
x=2 na + P ( a,n )/ xn -1 , гдеP(a,n)/xn-1 ³ 0 (5)
При a = b = 1 выражение (5) примет вид:
x=2n+P( 1 ,n)/xn-1 (6)
Подходящие значения y=x-1 и z=x+1 определяются через известный х. Из формул (5) и (6) становится ясным, что при n>2 согласование левых и правых частей уравнений (1) и (2) возможно только при учете добавки P (1 , n )/ xn -1 .
Вам будет интересно - Доклад: Число как сущее
Исходя из изложенного, целые числа х и у из теоремы Ферма следует однозначно отнести ко второму подмножествуyn + xn = zn
Ниже, в таблице приведены результаты расчетов согласования для n=2,3,4 и 5.
| n | x | y=x-1 | z=x+1 | xn | yn | xn + yn | zn | D % |
| 2 | 4 | 3 | 5 | 16 | 9 | 25 | 25 | - |
| 3 | 6,055 | 5,055 | 7,055 | 221 | 129 | 350 | 350 | - |
| 4 | 8,125 | 7,125 | 9,125 | 4350 | 2540 | 6890 | 6890 | - |
| 5 | 10,200 | 9,200 | 11,200 | 107000 | 66000 | 173000 | 175000 | 1,25 |
На основании изложенного можно сделать следующие предварительные выводы:
1. Согласование левых и правых частей уравнений (1) и (2) невозможно без учета добавки P ( a , n )/ xn -1 .
2. Если уравнение yn + xn = zn с учетом добавки P ( a , n ) выразить в числовых отрезках и спроектировать на плоскость (х,у), то на ней при n>2 образуется остроугольный треугольник, все стороны которого при a=b=1 выражены нецелыми числами: х=2n+P(1, n )/хn -1 ; у=2n-1+ P(1, n )/хn -1 ; z=2n+1+ P(1, n )/хn -1 , что находит подтверждение при следующем рассмотрении добавки P(1, n )/хn -1 .
Похожий материал - Доклад: Исследование электрической цепи переменного тока при последовательном соединении
Для выяснения этого вопроса представим ее после сокращений в следующем виде
P(1,n)/ х n-1 = 2cn 3 /x2 + 2cn 5 /x4 +2cn 7 /x6 ... ( 1 + 1 ) / xn -1
В числителе каждого члена разложения представлены сочетанияcn k , распределение которых симметрично, наподобие гаусовскому, относительно центра ( n+1)/2 . В знаменателе функция x 2 , возрастающая с каждым членом по квадратичному закону.
Первый член разложения, из-за малости x 2 имеет наибольшую величину и может выражаться целым числом со значащими цифрами после запятой (для n=15 – 1,1…; для n=25 – 1,8…; и т.п.). Последний член имеет наименьшую величину из-за большого знаменателяxn -1 (для n=3 – 2/62 ; для n=15– порядка 2/3014 ; для n=25– 2/5024 и т.п.)
Первая половина разложения по сумме значительно превышает вторую за счет резкого увеличения числителей. Все члены разложения второй половины меньше 1 за счет уменьшения числителей и дальнейшего возрастания знаменателей, и интенсовно уменьшаются по мере удаления от центра. В результате общая сумма разложения для n>14 (для n<=14 добавка <1) всегда будет определяться целыми числами со значащими цифрами после запятой, т.е. все эти числа будут нецелыми, что свидетельствует о достоверности и доказуемости теоремы Ферма.