Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный

Секция: математика

Научный руководитель:

Буйницкая Инесса Мечеславовна

учитель высшей категории

Минск 2004

Содержание

Общая теоретическая часть………………………………………00

Графический метод………………………………………………..00

Функциональный метод…………………………………………...00

Метод функциональной подстановки…………………………..00

Цели и задачи научной работы…………………………………..00

Возможно вы искали - Реферат: Пирамида

Практикум………...…………………………………………………00

Список литературы………………………………………………..00

Общая теоретическая часть

Пусть X и Y - два произвольных численных множества. Элементы этих множеств будем обозначать х и у соответственно и будем называть переменными.

Определение. Числовой функцией, определенной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y, называется соответствие (правило, закон), которое каждому х из множества Х сопоставляет одно и только одно значение у из множества Y.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом , а переменную у – зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Похожий материал - Реферат: Неопределенный интеграл

Введенное понятие числовой функции является частным случаем общего понятия функции как соответствия между элементами двух или более произвольных множеств.

Пусть Х и Y – два произвольных множества.

Определение. Функцией, определенной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y, называется соответствие, соотносящее с каждым элементом множества Х один и только один элемент из множества Y.

Определение. Задать функцию – это значит указать область ее определения и соответствие (правило), при помощи которого по данному значению независимой переменной находятся соответствующие ему значения функции.

С понятием функции связаны два способа решения уравнений: графический и функциональный. Частным случаем функционального метода является метод функциональной , или универсальной подстановки .

Очень интересно - Реферат: Независимость событий в примере Бернштейна с правильным тетраэдром

Определение. Решить данное уравнение – значит найти множество всех его корней (решений). Множество корней (решений) может быть пустым, конечным или бесконечным.

В следующих главах теоретического раздела мы разберем вышеописанные способы решения уравнений, а в разделе «Практикум» покажем их применение в различных ситуациях.

Графический метод.

На практике для построения графика некоторых функций составляют таблицу значений функции для некоторых значений аргумента, затем наносят соответствующие точки на координатную плоскость и последовательно соединяют их линией. При этом предполагается, что точки достаточно точно показывают ход изменения функции.

Определение. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек

{x, f(x) | xD (f)} координатной плоскости.

Вам будет интересно - Реферат: Математизация науки и ее возможности

Заметим, что так как функция f сопоставляет каждому x D ( f ) одно число f ( x ) , то график функции f пересекается любой прямой, параллельной оси ординат, не более, чем в одной точке. И наоборот: всякое непустое множество точек плоскости, имеющее со всякой прямой, параллельной оси ординат, не более одной общей точки, является графиком некоторой функции. Не всякое множество точек координатной плоскости является графиком какой-либо функции. Например, множество точек окружности не может быть графиком функции, поскольку значению абсциссы внутри окружности, соответствует два значения ординаты.

В общем случае уравнение с одной переменой х можно записать в виде

f(x)=g(x),

где f(x) и g(x) – некоторые функции. Функция f(x) является левой частью , а g(x) – правой частью уравнения. Тогда для решения уравнения необходимо построить в одной системе координат графики функций f(x) и g(x). Абсциссы точек пересечения будут являться решениями данного уравнения.

Заметим, что так как функция f сопоставляет каждому x D ( f ) одно число f ( x ) , то график функции f пересекается любой прямой, параллельной оси ординат, не более, чем в одной точке. И наоборот: всякое непустое множество точек плоскости, имеющее со всякой прямой, параллельной оси ординат, не более одной общей точки, является графиком некоторой функции.

Похожий материал - Реферат: Методы сварки

Данный метод может использоваться не только для одиночных уравнений, но и для их систем, а также неравенств. В случае с системами необходимо находить не только абсциссы, но и ординаты (если графики функций f(x) и g(x) пересекаются в точке А (х₁ , у₁ ), то решением системы будет х=х₁ , у=у₁ ). При решении неравенств ответом будет совокупность абсцисс, при которых график функции f(x) находится выше или ниже (в зависимости от условия) графика функции g(x).

Функциональный метод

Не всякое уравнение вида f(x)=g(x) в результате преобразований может быть приведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого подходят обычные методы решения. В таких случаях имеет смысл использовать такие свойства функций f(x) и g(x) как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функций возрастает, а другая убывает на определенном промежутке, то уравнение f(x) = g(x) не может иметь более одного корня, который, в принципе, можно найти подбором. Далее, если функция f(x) ограничена сверху, а функция g(x) – снизу так, что f(x)_мах =А g(x)_{м in} =A, то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений

Также при использовании функционального метода рационально использовать некоторые теоремы, приведенные ниже. Для их доказательства и использования необходимы следующие уравнения общего вида: