Теорема Бернуллі. Нехай імовірність появи події А в кожному із п незалежних повторних випробувань дорівнює р, т - число появ події А (частота події) в п випробуваннях. Тоді
Доведення. Частість 
можна розглядати як невід'ємну випадкову величину
. Знайдемо її математичне сподівання
Отже, необхідно оцінити імовірність відхилення випадкової величини
від її математичного сподівання. Для цього знайдемо дисперсію цієї випадкової величини
Возможно вы искали - Контрольная работа: График и его элементы. Классификация видов графиков
За нерівністю Чебишова одержимо
Звідси граничним переходом
одержуємо (4), що й треба було довести.
Теорема Чебишова. Нехай 
- послідовність попарно незалежних випадкових величин, які задовольняють умовам
Похожий материал - Реферат: Графики и их функции
для усіх t= 1,2,..., п.
Тоді
Доведення. Знайдемо математичне сподівання та дисперсію
середньої випадкових величин, тобто
Очень интересно - Учебное пособие: Графическое изображение данных
Застосуємо для випадкової величини нерівність Чебишова (2)
Границя цієї імовірності при 
дорівнює одиниці, тобто рівність (5) доведено.
Вам будет интересно - Контрольная работа: Графическое решение уравнений
Центральна гранична теорема. Нехай задана послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин
Розглянемо випадкову величину
Тоді
При
функція розподілу
Похожий материал - Дипломная работа: Графічні методи розвязування задач із параметрами
тобто сума
буде розподілена за нормальним законом з математичним сподіванням 0 та дисперсією
Для доведення цієї теореми треба знайти границю характеристичної функції, побудованої для нормованої випадкової величини
