Две окружности радиусов 3 и 12 внешне касаются в точке К. Обе окружности касаются одной прямой: большая – в точке А, меньшая – в точке В. Прямая АК пересекает меньшую окружность в точке С, прямая ВК пересекает большую окружность в точке D. Найти площадь четырехугольника АВСD.

   Впишем наши окружности , в  ось [latex]OXY[/latex] , так , что точка [latex] A(0;0)[/latex] , точка  [latex]B[/latex]  очевидно будет иметь координаты , равными [latex] x= sqrt{(3+12)^2-(12-3)^2} = 12 , то есть [/latex] [latex]B(12;0)[/latex] Опишем уравнения окружности , и решим систему [latex] left { {{ (x-12)^2 + (y-3)^2 = 3^2 } atop { x^2+(y-12)^2=12^2}} ight. [/latex] Решениями системы, [latex] x= frac{48}{5} ; y = frac{24}{5}[/latex] то есть координаты [latex] K( frac{48}{5}; frac{24}{5} )[/latex]. Найдем координаты , точек [latex]C;D[/latex] Уравнения прямой [latex]AС\ 3x+4y=48\ [/latex]  уравнения прямой другой [latex] 2x+y=24[/latex]  Решая их с полученными , уравнениями окружности         [latex](x-12)^2 + (y-3)^2 = 3^2 } atop { 3x+4y=48 } [/latex]                          [latex] C(frac{72}{5}: frac{6}{5})[/latex]     [latex] x^2+(y-12)^2=12^2\ 2x+y=24 \ [/latex] [latex] D(0;24)[/latex]       То есть [latex] AD[/latex] диаметр окружности  [latex]BC = frac{6sqrt{5}}{5}[/latex] [latex] CD = frac{6sqrt{505}}{5}[/latex]      [latex] BD = sqrt{12^2+24^2 } = 12sqrt{5}[/latex]     Откуда  [latex] S_{BCD} = 36[/latex]   Значит [latex] S_{ABCD} = 36+S_{ABD} = frac{24*12}{2}+36 = 180[/latex]