В прямоугольнике ABCD сторона AD равна 4. На стороне AB выбрана точка M так, что AM:MB=3:1. Вторая сторона прямоугольника имеет длину такую, что в четырёхугольник AMCD можно вписать окружность. Найдите расстояние от центра этой окружности до вершины B.

Четырёхугольник АМСД является описанным тогда и только тогда, кода суммы его противолежащих сторон равны: АМ+СД=АД+МСПусть АМ=3х, МВ=х, АД=ВС=4, АВ=СД=АМ+МВ=4хИз прямоугольного ΔМВС:МС=√(ВС²+МВ²)=√(16+х²)Подставляем:3х+4х=4+√(16+х²)(7х-4)²=16+х²49х²-56х+16=16+х²48х²-56х=0х₁=0 (не подходит)х₂=7/6Значит АМ=7/2, МВ=7/6, АВ=СД=14/3, МС=√(16+49/36)=25/6Площадь Sмвс=МВ*ВС/2=7/6*4/2=7/3Площадь Sавсд=АВ*ВС=14/3*4=56/3Площадь Sамсд=Sавсд-Sмвс=56/3-7/3=49/3Полупериметр АМСД р=(АМ+МС+СД+АД)/2=(7/2+25/6+14/3+4)/2=49/6Радиус вписанной окружности R=Sамсд/p=49/3 / 49/6=2Опустим перпендикуляр из центра окружности О на сторонй АМ: ОК=2.Рассмотрим прямоугольный ΔОКВ: КВ=АВ-2=14/3-2=8/3ОВ²=КВ²+ОК²=64/9+4=100/9ОВ=10/3