Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, длины высот - целые числа. Докажите, что треугольник правильный.

В любом треугольнике высота больше диаметра вписанной окружности. Поэтому длины высот — целые числа, большие 2, т. е. все они не меньше 3. Пусть S — площадь треугольника,  a — наибольшая его сторона,  h — соответствующая высота. Предположим, что треугольник неправильный. Тогда его периметр P меньше 3a. Поэтому  3a > P = Pr = 2S = ha, т. е. h < 3. Получено противоречие.