Реферат з курсу “ Введение в численные методы ”
Тема: “КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ”
Содержание
1. Приведение к системе уравнений первого порядка
2. Разностное представление систем дифференциальных уравнений
3. Разностные системы уравнений для краевых задач
4. Краевые задачи второго порядка
5. Разностные схемы для уравнений в частных производных
6. Повышение точности разностных схем
7. Сеточные методы для нестационарных задач
Литература
1. Приведение к системе уравнений первого порядка
Для решения систем дифференциальных уравнений высокого порядка методами конечных разностей в первую очередь возникает потребность преобразования исходной системы в систему дифференциальных уравнений первого порядка с соответствующим образом преобразованными начальными или граничными условиями. И уже далее реализовывать численную процедуру решения.
Преобразование в систему уравнений первого порядка не единственно. Наиболее популярные из них в большинстве своем касаются линейных систем с постоянными или переменными коэффициентами. Основная идея всех методов состоит во введении новых переменных и выполнении замены высших производных этими переменными.
Пусть неоднородное дифференциальное уравнение высокого порядка задано в виде:
Возможно вы искали - Контрольная работа: Краткие сведения и задачи по курсу векторной и линейной алгебры
где 
– соответственно i- тая производная искомого решения и ее значение в начальный момент,
– функция, описывающая внешнее воздействие на динамический объект.
Обозначим первую производную искомой функции новой переменной 
, первую производную – следующей переменной: 
, первую производную – переменной 
и т.д.. Таким образом из исходной системы мы сформируем 
дифференциальное уравнение первого порядка:
При таких заменах производных искомой функции 
ее n -ная производная оказывается равной первой производной от 
:
Похожий материал - Статья: Краткое доказательство великой теоремы Ферма
В результате, эквивалентная система дифференциальных уравнений первого порядка примет следующий вид:
В случае, когда правая часть представлена взвешенной суммой функции 
и ее производных и в целом дифференциальное уравнение имеет вид
Очень интересно - Реферат: Краткое доказательство гипотезы Билля
то его преобразование в систему уравнений первого порядка с новыми переменными 
осуществляется по следующим формулам:
Такое преобразование сохраняет коэффициенты исходного уравнения неизменными и исключает производные в правой части от . Начальные условия для новых переменных здесь приходится пересчитывать по достаточно сложным соотношениям.
И, наконец, приведем еще один вариант разложения на систему уравнений первого порядка исходного неоднородного уравнения с производными в правой части:
Вам будет интересно - Сочинение: Краткое доказательство гипотезы Биля
Замена переменных в отличие от предыдущего случая производится без сохранения коэффициентов исходного уравнения:
Производные искомой функции 
можно выразить через вновь введенные переменные 
путем многократного дифференцирования левой и правой части соотношения для y с подстановкой после каждого дифференцирования производных 
:
Умножив каждое выражение для 
на коэффициенты 
и просуммировав правые и левые члены равенств, получим уравнение, которое отличается от исходного лишь коэффициентами при производных в правых частях. Чтобы добиться тождественности, необходимо коэффициенты при соответствующих производных приравнять и разрешить полученную систему уравнений относительно неизвестных 
.
Похожий материал - Дипломная работа: Кратные интегралы
Система уравнений имеет вид:
В векторно-матричной форме это уравнение и его решение записываются в следующем виде:
