Оптимизационные модели
Обширный класс экономико-математических моделей образуют оптимизационные модели, позволяющие выбирать из всех решений самый лучший оптимальный вариант. В математическом смысле оптимальность понимается как достижение экстремума (максимума или минимума) критерия оптимальности, именуемого также целевой функцией. Оптимизационные задачи решаются посредством выполнения моделей с помощью методов математического программирования, реализуемых обычно с применением электронно-вычислительной техники.
Оптимизационная модель формируется в общем виде следующим образом: "Надо отыскать значения управляемых параметров (показателей) x1,x2,…..xn, характеризующих управляемый экономический объект или процесс, придающие максимальное или минимальное значение целевой функции F(x1,x2,…..xn,)
при соблюдении ограничений, накладываемых на область изменения показателей x1,x2,…..xn,, и связей между ними в виде f(x1,x2,…..xn,)£a". Если целевая функция, ограничения, связи между искомыми показателями выражены в виде линейных зависимостей, то оптимизационная модель сводится к задаче линейного математического программирования и саму модель также называют линейной.
Оптимизационные модели чаще всего используются в задачах отыскания лучшего способа использования экономических ресурсов, позволяющего достичь максимальный целевой эффект. Кстати математическое программирование возникло на основе решения задачи об оптимальном раскрое листов фанеры, обеспечивающем наиболее полное использование материала. Поставивший эту задачу известный российский математик и экономист академик Л.В. Канторович был впоследствии удостоен Нобелевской премии по экономике.
Задача 1. Простейшая задача на максимизацию прибыли компании
Возможно вы искали - Реферат: Регрессионный анализ. Парная регрессия
Компания производит два продукта в количестве x1 и x2 тонн за месяц соответственно. Тонна первого продукта приносит 12 тысяч гривен прибыли, а тонна второго продукта - 8 тысяч гривен. Производственные мощности компании позволяют выпускать не более 100 тонн двух продуктов вместе, при этом производство первого продукта не может превышать более чем в три раза производство второго. Надо определить оптимальный объем производства, приносящий компании максимальную прибыль.
Применительно к данной задаче целевая функция (критерий оптимальности) имеет вид:
F(x1, x2,…..xn,)=F(x1, x2)=12x1 +8x2 тысяч гривен
Объемы выпуска x1 и x2 есть заведомо положительные величины, то есть
x1 ³0; x2 ³0
Похожий материал - Дипломная работа: Рекурсия
Между значениями x1 и x2 имеются связи
x1 + x2 £100
x1 £ 3 x2
Таким образом, подходим к типичной задаче линейного математического программирования, когда надо отыскать значения управляющих параметров x1, x2, придающие максимальное значение целевой функции 12x1 +8x2 с учетом фиксированных связей и ограничений.
Постановку и решение этой задачи удобно проиллюстрировать графически, отобразив связи и ограничения в системе координат параметров x1, x2, как изображено на рис. 3.1.
Очень интересно - Реферат: Решение задач на переливание на бильярдном столе
0 20 40 60 75 80 100 120
Рисунок.3.1. - Графическая интерпретация задачи
В силу положительных значений параметров x1 и x2 (x1³0;x2³0) решение следует искать в первом квадранте. Ограничение по суммарному выпуску (x1 + x2 £100) сужает область поиска до находящейся внутри треугольника ОАС, ограниченного сверху прямой x1 + x2 =100. Ограничение x1 £ 3 x2 еще более сужает область допустимых по условию задачи значений x1 и x2, заключая ее в треугольник ОАВ, ограниченный снизу прямой x1 £ 3 x2. Среди всех значений x1 и x2, заключенных внутри ОАВ, оптимальным соответствует точка В. В этой точке, соответствующей координатам x1 = 75; x2 = 25, достигается наибольшее из допустимых значений x1 равное 75. К наибольшему же значению x1 и надо стремиться, так как первый вид продукции приносит в расчете на одну тонну больше прибыли, чем второй (12 > 8), то есть надо выбирать наибольшее из возможных, допустимых значений x1. Оптимальному решению соответствует, таким образом, точка В, в которой целевая функция достигает своего максимального значения
12x1 +8x2 =12×75+8× 25=1100 тысяч гривен
Вам будет интересно - Контрольная работа: Решение задач симплекс методом
Легко проверить, что внутри треугольника ОАВ любое другое сочетание, кроме x1 = 75; x2 = 25, обеспечивает меньшую суммарную прибыль.
Задача 2. Постановка и решение транспортной задачи
Рассмотрим вначале общую постановку этой достаточно сложной оптимизационной задачи и построим ее экономико-математическую модель, которую потом проиллюстрируем простейшим примером.
Пусть имеется n поставщиков товара и m его потребителей. Каждый "i" поставщик способен поставлять потребителям за определенное время количество товара, равное Ni, а каждый "j" потребитель нуждается в количестве товара, равном Mj. Обозначим через xij количество товара, поставляемое "i" поставщиком "j" потребителю. Тогда общий объем поставок Q равный объему спроса всех потребителей, выразится соотношением:
, где
Похожий материал - Реферат: Решение задачи линейного программирования симплекс-методом
Nj =
- есть сумма поставок всем m потребителям со стороны "i" поставщика.
Mj = 
- есть сумма потребностей "j" потребителя, удостоверяемых поставщиками всех n поставщиков.
Примем далее, что стоимость перевозки товара "i" поставщиком "j" потребителю равна cij. Тогда общая стоимость перевозок, зависящих от прикрепления "i" поставщика к "j" потребителю, то есть от значений xij равна
F (xij) = 
cij xij, i=1,2…..n, j=1,2,….m