Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом вида
(1)
где 
, 
, 
, называются дифференциальными уравнениями с запаздыванием, зависящим от состояния, а именно с сосредоточенным запаздыванием.
Если заданы начальные данные в виде
(2)
Возможно вы искали - Контрольная работа: Дифференцирование. Интегрирование
То имеет смысл определить понятие решения, начинающегося в точке σ с функции φ, или, короче, начинающегося в φ.
В дальнейшем будем рассматривать только решения, удовлетворяющие условию Липшица, поэтому следует дать следующее определение:
Def 1 .Функция 
называется решением системы (1), (2) на отрезке 
, если она удовлетворяет следующим условиям:
на отрезке 
.
Похожий материал - Контрольная работа: Длина дуги кривой в прямоугольных координатах
Естественно возникает вопрос о существовании и единственности такого решения.
Для начала сделаем некоторые обозначения.
a) 
есть функция, определенная на отрезке 
и удовлетворяющая условию Липшица с константой L, то есть
;
b) 
Очень интересно - Учебное пособие: Длина окружности и площадь круга
c)
Def 2. 
удовлетворяет условиям a),b),c)}
2. Полезная лемма
Lemma 1: 
- выпуклое, замкнутое, ограниченное множество в пространстве непрерывных на отрезке функций.
Proof :
1)Выпуклость:
Вам будет интересно - Контрольная работа: Доказательство бесконечности некоторых видов простых чисел
a)Выберем произвольные функции 
, тогда
b)
;
c)
на отрезке 
на том же отрезке для любых 
.
Похожий материал - Научная работа: Доказательство великой теоремы Ферма
2)Ограниченность:
Множество определено так, что все элементы этого множества лежат в шаре радиуса 
3)Замкнутость:
Возьмем последовательность функций такую, что