Математическая теория поля занимается изучением его свойств, отвлекаясь от его конкретного физического смысла. Поэтому получаемое в этой теории понятие и закономерности относятся ко всем конкретным полям.

Определение 1

Полем называется совокупность значений той или иной величины (скорость, плотность, давление и т.п.), заданных в каждой точке рассматриваемой области.

Если рассматриваемая величина

а) скаляр , то поле называется скалярным, например

Возможно вы искали - Реферат: Теория случайных функций

– поле плотности

б) вектор , то поле называется векторным

– поле скоростей

в) тензор , то поле называется тензорным

– поле напряжений.

Похожий материал - Дипломная работа: Топологическая определяемость верхних полурешёток

Определение 2

Если значения рассматриваемых величин не изменяются во времени , то поле называется стационарным (установившимся), если же они изменяются во времени , то поле называется нестационарным.

Здесь мы остановимся на рассмотрении свойств стационарных полей.

Скалярное поле

Характеристики скалярного поля

1) Скалярное поле характеризуется поверхностью уровня (см. рис.)

Очень интересно - Курсовая работа: Топологические пространства

2) Градиент поля определяется как вектор, составленный из частных производных

(1)

Он направлен по нормали к поверхностям уровня и характеризует величину и направление наибыстрейшего изменения величины поля. Полный дифференциал скалярного поля можно представить в виде:

, (2)

где .

Вам будет интересно - Реферат: Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

3) Производная по направлению (см. рис. 2) определяется как проекция градиента на данное направление

(3)

Частный случай: производная по нормали :

(4)

4) Частные и полные производные по времени

Похожий материал - Контрольная работа: Точные методы численного решения систем линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим нестационарное скалярное поле:

Скорость изменения r в фиксированной точке равна и называется частной производной (локальной производной). Пусть задана некоторая траектория в пространстве, где определено скалярное поле (рис. 3)