План

1. Метод найменших квадратів

1.1 Задача про пошуки параметрів

2. Означення метода найменших квадратів

Література

Возможно вы искали - Курсовая работа: Дослідження дзета-функції Римана

1. Метод найменших квадратів

1.1 Задача про пошуки параметрів

При експериментальному вивченні функціональної залежності однієї величини виконують вимірювання величини при різних значеннях величини . Задача полягає в аналітичному представленні шуканої функціональної залежності, тобто необхідно підібрати формулу, яка описала б результати експерименту. Наприклад для проведення прямої достатньо двох точок і , якщо ці точки відомі точно. Але за наявністю „шуму” в експерименті необхідно взяти декілька десятків точок.

Емпіричну формулу вибирають із формул визначеного типу, наприклад: , , . Іншими словами, задача полягає у визначенні параметрів формули, в той час, як вигляд формули відомий. Позначимо вибрану функціональну залежність через

(1)

Похожий материал - Курсовая работа: Дослідження кривої й форми поверхні другого порядку

з явною вказівкою на параметри, які необхідно визначити. Ці параметри не можна визначити точно за емпіричними значеннями функції , так як останні мають випадкові похибки. При цьому передбачається, що вимірювання значень функції проведенц незалежно один від одного і що похибки вимірювання підпорядковуються нормальному закону розподілу ймовірностей.

2. Означення метода найменших квадратів

Якщо всі вимірювання значень функції виконані з однаковою точністю, то оцінки параметрів визначаються із умови, щоб сума квадратів відхилень виміряних значень від розрахункових , тобто є величина:

(2)

Сума квадратів відхилень фактичних (дослідних) даних приймала найменше значення від вирівняних.

Якщо вимірювання виконані з різними дисперсіями ( не рівно точні), але відомі відношення дисперсій різних вимірювань, тоді сума замінюється сумою:

Очень интересно - Курсовая работа: Дослідження локальних формацій із заданими властивостями

(3)

де множники називається вагою вимірювання , обернено пропорційні дисперсіям: .

Якщо всі вимірювання значень функції проводяться з однаковою точністю, але при кожному значенні аргумента вимірювань серія вимірювань, а в якості береться середнє арифметичне результатів вимірювань в серії, то вагою вимірювання можуть бути кількість вимірювань в серіях .

Сформульована вище умова зберігається і для визначення оцінок параметрів функції декількох змінних. Наприклад, для функції від двох змінних оцінки параметрів визначається з умови перетворення в мінімум суми

(4).

Вам будет интересно - Курсовая работа: Дослідження методу ортогоналізації й методу сполучених градієнтів

Відшукування тих значень параметрів , які дають найменше значення функції полягає у розв’язку системи рівнянь

(5).

Нехай в процесі певного дослідження ми отримали такі дані:

Таблиця 1