1. Поняття потрійного інтеграла. Умови його існування та властивості
Схема побудови потрійного інтеграла така сама, як і звичайного визначеного інтеграла та подвійного інтеграла.
Нехай функція 
визначена в обмеженій замкненій області 
. Розіб'ємо область 
сіткою поверхонь на 
частин 
, які не мають спільних внутрішніх точок і об'єми яких дорівнюють 
. У кожній частині візьмемо довільну точку 
і утворимо суму
,(1)
яка називається інтегральною сумою для функції 
за областю . Нехай 
– найбільший з діаметрів областей .
Возможно вы искали - Контрольная работа: Системи лінійних рівнянь
Якщо інтегральна сума (1) при 
має скінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття області на частини , ні від вибору в них точок 
, то ця границя називається потрійним інтегралом і позначається одним із таких символів:
або 
.
Таким чином, за означенням
,(2)
де – функція, інтегровна в області ; – область інтегрування; 
і 
– змінні інтегрування; 
(або 
) – елемент об'єму.
Похожий материал - Учебное пособие: Алгоритмічні проблеми
Якщо по тілу розподілено масу з об'ємною густиною 
в точці 
, то маса 
цього тіла знаходиться за формулою
.(3)
Формула (3) аналогічна формулі (1.8) і може розглядатися як механічний зміст потрійного інтеграла, коли підінтегральна функція невід'ємна в області . Якщо всюди в області покласти 
, то з формули (2) випливає формула для обчислення об'єму 
тіла :
.(4)
Потрійний інтеграл є безпосереднім узагальненням подвійного інтеграла на тривимірний простір. Теорія потрійного інтеграла аналогічна теорії подвійного інтеграла, тому в більшості випадків ми обмежимося лише формулюваннями тверджень і короткими поясненнями.
Очень интересно - Курсовая работа: Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв’язанні задач. Матриця лінійного оператора
Теорема (достатня умова інтегровності функції). Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області , то вона в цій області інтегрована.
Властивості потрійних інтегралів.
1. Сталий множник можна винести за знак потрійного інтеграла:
.
Потрійний інтеграл від суми кількох інтегровних функцій дорівнює сумі потрійних інтегралів від доданків:
Вам будет интересно - Курсовая работа: Дослідження лінійно впорядкованого простору ординальних чисел
.
3. Якщо в області інтегрування 
, то
.
4. Якщо функції та 
визначені в одній і тій самій області і 
, то
.
Похожий материал - Курсовая работа: Дослідження топологічного визначення верхніх напівґрат
5. (Адитивність потрійного інтеграла.) Якщо область інтегрування функції розбити на частини 
і 
, які не мають спільних внутрішніх точок, то
.
6. (Оцінка потрійного інтеграла.) Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області , яка має об'єм , то
,