B.А. Будников
Б 903 Решение алгебраического уравнения n-ой степени - Новосибирск: Интернет, Блоги: budnikov57@mail.ru, 2010. - 26 с.
В работе предложено аналитическое решение (в радикалах ) алгебраического уравнения n- ой степени. Решены Проблемы собственных значений для нахождения Функций от Матриц и устойчивости решений линейных дифференциальных и разностных уравнений. Метод решения основан на последовательном получении алгебраического уравнения относительно квадратов независимой переменной и его Решении с последующим возвратом к корням исходного уравнения. Метод характеризуется простотой и требует только умения решать квадратные уравнения и извлекать корни n- ой степени из комплексного числа. Алгоритм решения легко поддаётся программированию. Приведены конкретные примеры решения алгебраических уравнений с третьей по восьмую степень включительно.
Статья может быть полезна Специалистам, занимающимся решением задач Высшей Алгебры, а также Студентам высших учебных заведений, интересующимся сложными математическими Проблемами.
Введение
Проблема решения в радикалах алгебраического уравнения произвольной степени, так называемого Векового уравнения, интересовала математиков всех времён и народов. Удача Тартальи и Феррари в решении уравнений третьей и четвёртой степеней внесла надежду на успехи в этом направлении и далее. Однако Решения долгое время найти не удавалось / 1/. Могу с уверенностью сказать, что все Великие математики, в течение последних пятисот лет, занимались решением уравнений высших степеней. Уравнение пятой степени решали Ньютон, Лейбниц, Лагранж, Эйлер, Гаусс, Тэйлор, Абель, Галуа, Пуанкаре, Клейн, Гильберт и многие другие (Список можно было бы ещё долго продолжать). В справочниках по высшей Математике сказано, что НЕ СУЩЕСТВУЕТ решения в радикалах алгебраических уравнений выше четвёртой степени / 2/. Казалось бы, не существует и решать не надо! Однако в Технике очень важно выбирать параметры Систем в соответствие с принципами Оптимальности, чтобы Объекты, описываемые системами дифференциальных или разностных уравнений, удовлетворяли заданному Критерию качества (например, минимуму потребляемой Энергии или максимальному быстродействию).
Возможно вы искали - Курсовая работа: Решение военно-логистических задач по выбору оптимального маршрута для военно-транспортных средств
Для пояснения дальнейших рассуждений введём систему условных обозначений.
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ:
* - знак умножения,
** - знак возведения в степень,
ABS (x) - абсолютная величина комплексной переменной x,
Похожий материал - Курсовая работа: Решение военно-логической задачи по распределению ударной группы авиационного подразделения
Rex, Imx- действительная и мнимая величины комплексной переменной x соответственно,
Modx, Fix- модуль и угол комплексной переменной xсоответственно,
SIN (x), COS (x) - тригонометрические функции sinx и cosx,
ARCTAN (Imx, Rex) - обратная тригонометрическая функция arctg ( (Imx) / (Rex)).
SQRT (x) - операция извлечения квадратного корня из действительного числа x.
Очень интересно - Курсовая работа: Решение дифференциального уравнения первого порядка
PI = 3.141592653589793 - число π.
В 1683 году друг Г.В. Лейбница Э.В. фон Чирнгауз (1651 - 1708) опубликовал в журнале "ActaEruditorum" метод преобразования алгебраического уравнения в уравнение той же степени с меньшим числом членов.
Чирнгауз из уравнения
(x**n) + A1* (x** (n - 1)) + A2* (x** (n- 2)) + … + An = 0,
и уравнения с неопределёнными коэффициентами
Вам будет интересно - Контрольная работа: Решение дифференциальных уравнений
y = B1* (x** (n- 2)) + B2* (x** (n- 3)) + … + Bn-1,
исключал x. Он полагал, что в полученном уравнении
(y**n) + C1* (y** (n - 1)) + C2* (y** (n - 2)) + … + Cn = 0,
можно будет подобрать коэффициенты Bi, от которых зависят Ci, так, что все коэффициенты Ci, кроме одного, обратятся в нуль. Тогда последнее уравнение примет вид
( y**n) + Cn = 0,
Похожий материал - Контрольная работа: Решение дифференциальных уравнений 2
и исходное уравнение относительно переменной x будет разрешимо в радикалах.
Отметим, что в общем случае коэффициент Cnможет быть комплексной величиной, для которой, в соответствие с теорией функций комплексного переменного, существуют понятия модуля и угла вектора на комплексной плоскости. Для упрощения рассуждений будем полагать коэффициент Cn действительной величиной ( (-Cn) > 0)
Пусть q = (-Cn) ** (1/n), тогда уравнение относительно переменной yiлегко может быть решено
yi = q* (COS (2* (i - 1) *PI/ n) + j*SIN (2* (i - 1) *PI/ n),