1. Универсальная тригонометрическая подстановка
Рассмотрим интегрирование выражений полностью зависящих от тригонометрических функций, над которыми выполняются лишь арифметические операции. Такие выражения называются рациональными функциями от тригонометрических функций и в данном случае обозначаются 
. Например,
, 
, 
.
В то же время функция 
рациональной не является.
Теорема . Интеграл вида 
с помощью подстановки 
преобразуется в интеграл от рациональной дроби .
Возможно вы искали - Дипломная работа: Упругопластическая деформация трубы
Для доказательства выразим 
, 
и 
через 
:
;
;
.
В результате проведенных преобразований , и превратились в рациональные дроби от . Подставляя их в исходный интеграл, получаем:
Похожий материал - Курсовая работа: Уравнение и функция Бесселя
.
В данном выражении рациональные дроби подставлены в рациональную функцию. Так как над ними выполняются лишь арифметические операции, то в результате получается также рациональная дробь. Итак, рациональную функцию от тригонометрических функций можно проинтегрировать, превратив ее в рациональную дробь.
Подстановка
, 
, 
, 
называется универсальной тригонометрической подстановкой.
Очень интересно - Курсовая работа: Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании
2. Частные случаи интегрирования выражений, содержащих тригонометрические функции
Рассмотренная в п. 11 универсальная тригонометрическая подстановка позволяет вычислить любой интеграл от функции вида . Однако на практике она часто приводит к слишком сложным рациональным функциям, интегрирование которых представляет значительную трудность. Есть целый ряд интегралов от тригонометрических функций, которые можно вычислить значительно проще.
1. Интегралы типа 
удобно вычислять с помощью подстановки 
. Тогда 
и получаем простой интеграл 
.
2. Интегралы типа 
удобно вычислять с помощью подстановки 
. Тогда 
и интеграл приводится к виду 
.
3. Если подынтегральная функция зависит только от 
(
), то удобна замена 
. В этом случае 
и 
. В результате получаем 
.
Вам будет интересно - Реферат: Способи перетворення креслення
4. Если подынтегральная функция является рациональной относительно четных степеней и , то есть 
, то в этом случае также удобна замена . При этом:
;
;
.
Данная подстановка в этом случае дает более простую рациональную дробь, чем с использованием универсальной тригонометрической подстановки.
Похожий материал - Дипломная работа: Устойчивость по Ляпунову
Пусть дан интеграл 
, где 
и при этом хотя бы одно из этих чисел нечетное. Допустим, что 
. Тогда
.
Далее делается замена , и получаем 
.
6. Пусть дан интеграл , где 
и 
неотрицательные и четные. Положим, что 
, 
. Тогда