1. Поверхневі інтеграли першого роду
Поверхневі інтеграли першого роду є узагальненням подвійних інтегралів.
Нехай у точках деякої кусково-гладкої поверхні 
визначена обмежена функція 
. (Поверхня називається гладкою, якщо в кожній її точці існує дотична площина і при переході від точки до точки положення цієї дотичної площини змінюється неперервно. Поверхня, яка складається із скінченного числа неперервно з’єднаних гладких поверхонь, називається кусково-гладкою.) Розіб'ємо поверхню на 
довільних частин 
без спільних внутрішніх точок (рис. 1); нехай 
– площа, а 
– діаметр частини поверхні 
. У кожній частині виберемо довільну точку 
і складемо суму
.(1)
Возможно вы искали - Лабораторная работа: Представлення і перетворення фігур
Рисунок 1– Поверхня
Цю суму називають інтегральною сумою для функції 
по поверхні .
Якщо при 
інтегральні суми (1) мають скінченну межу, яка не залежить ні від способу розбиття поверхні , ні від вибору точок 
, цю границю називають поверхневим інтегралом першого роду від функції по поверхні і позначають 
.
Таким чином, за означенням
.(2)
Похожий материал - Курсовая работа: Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона
У цьому разі функція називається інтегровною по поверхні , а поверхня –областю інтегрування.
Якщо функція неперервна на поверхні , то вона інтегровна по.
Обчислення поверхневого інтеграла першого роду зводиться до обчислення подвійного інтеграла.
Нехай гладка поверхня , задана рівнянням
, проектується на площину 
в область 
. Припустимо, що функціянеперервна на поверхні , а функції 
неперервні в області .
Внаслідок розбиття поверхні на частини область розіб'ється на частини 
, які є відповідними проекціями частин на площину (рис. 2).
Очень интересно - Контрольная работа: Теория вероятностей
Рисунок 2 – Розбиття поверхні на частини
Якщо 
– площа області , – площа поверхні , то
,
тому інтегральну суму (1) можна записати у вигляді
Вам будет интересно - Контрольная работа: Теория вероятностей
.(3)
Права частина цієї рівності є інтегральною сумою для функції
,
тому з рівностей (2) і (3) випливає, що
.(4)
Похожий материал - Реферат: Інтегральні характеристики векторних полів
Формула (4) виражає поверхневий інтеграл першого роду через подвійний інтеграл по проекції поверхні на площину .
Аналогічно можна отримати формули, що виражають інтеграл по поверхні через подвійні інтеграли по її проекціях на площини 
та 
. Якщо поверхня задається рівнянням 
або 
, то
,