Лабораторна №3
Паралельні проекції
Метою разділу є ознайомлення з елементарним математичним апаратом плоских геометричних проекцій. Для простоти будемо вважати, що при центральному проектуванні картинна площина перпендикулярна осі z і збігається з площиною z = d, а при паралельному збігається з площиною z = 0. Проекції розглядаються в системі координат спостерігача, що є лівосторонньою. Система координат, в якій вісь х спрямована вправо, вісь у - вгору, а вісь z - усередину екрана, природньо погоджується з екраном дисплея.
Рис.1 Центральна проекція
Возможно вы искали - Контрольная работа: Подвійний інтеграл
Кожну з проекцій можна описати матрицею розміром 4х4. Цей спосіб виявляється зручним, оскільки з'являється можливість об'єднати матрицю проектування з матрицею перетворення, представивши в результаті дві операції (перетворення і проектування) у виді однієї матриці. У цьому розділі ми одержимо матриці розміром 4х4 для декількох проекцій і насамперед для центральної. На рис.1 наведені три зображення лівосторонньої системи координат, у яких точка P проектується на проекційну площину, розташовану на відстані d від початку координат. Для обчислення координат Xр і Yp проекції точки (x, у, z) напишемо співвідношения, отримані з подібності трикутників (рис.1):
Перемножуючи обидві сторони кожного співвідношення на d, одержимо
Відстань d є в даному випадку масштабним множником, застосованим до координат Xp і Yp. Фактором, що приводить до того, що на центральній проекції більш віддалені об'єкти виглядають дрібніше, ніж ближчі, є ділення на z. Відзначимо, що допустимі всі значення z, крім z = 0. Точки можуть розташовуватися як за центром проекції на від’ємній частині осі z, так і між центром проекції і проекційною площиною.
Похожий материал - Контрольная работа: Потрійний інтеграл
Ці перетворення можна представити у вигляді матриці розміром 4х4:
Множачи точку 
на матрицю 
. отримаємо загальний вираз для точки в однорідних координатах 
:
Очень интересно - Контрольная работа: Системи лінійних рівнянь
геометричний проекція косокутний матриця
Тепер, поділивши на W (що дорівнює z/d) для зворотнього переходу до трьох вимірів, отримаємо
Цей результат є коректним, оскільки містить перетворену z - координату з 1, що відповідає положенню проекційної ПЛОЩИНИ ВЗДОВЖ ОСІ 2.
Вам будет интересно - Учебное пособие: Алгоритмічні проблеми
Рис. 2 Інша схема побудови центральної проекції
При іншому представленні центрального проектування, застосовуваному в деяких роботах, проекційна площина сполучається з площиною 2 = 0, а центр проекції розташовується в точці 2 = - с (рис. 2). З подібності трикутників випливає
Звідси одержуємо
Похожий материал - Курсовая работа: Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв’язанні задач. Матриця лінійного оператора
Матриця записується у виді
Цю матрицю можна одержати з матриці шляхом переносу центра проекції в початок координат, застосування і зворотнього переносу:
