Реферат: Узагальнена функція Гріна

Найпоширенішою задачею в теорії звичайних рівнянь є задача Коші. Додаткові умови цієї задачі за своєю суттю є початковими: в них фігурують значення невідомої функції та її похідних( якщо порядок рівняння перевищує одиницю) при фіксованому значенні незалежної змінної. Зрозуміло, що це не єдиний спосіб виділення того, чи іншого частинного розв’язку з множини всіх функцій, які задовольняють диференціальне рівняння. Часто виникає потреба у знаходженні такого розв’язку, для якого виконувалися б так звані крайові умови: значення шуканої функції та її похідних мають задовольняти певні співвідношення в кількох фіксованих точках проміжку, який пробігає незалежна змінна. Причому, задачу відшукання такого розв’язку називають крайовою задачею. Такі крайові задачі мають прикладне значення і частіше виникають у практиці. Наприклад,задача про форму провислого каната із закріпленими кінцями зводиться до відшукання такого розв’язку диференціального рівняння другого порядку, графік якого проходив би через дві наперед задані точки, або, щоб знайти Т-періодичний розв'язок лінійного Т-періодичного рівняння , потрібно з усіх розв’язків вибрати той, який задовольняє умову . Для розв’язання крайових задач використовують так звану функцію Гріна, спробуємо зрозуміти, як вона будується у загальному випадку.

Розглянемо випадок,коли однорідна крайова задача

(1)

(2),

має хоча б один нетривіальний розв’язок. При цьому, нехай функція неперервно диференційована на , а дійсні функції - неперервні на ,та - задані числа, причому,

Возможно вы искали - Курсовая работа: Уменьшение оценки взаимной спектральной плотности стационарного случайного процесса

Позначимо цей розв’язок через .

Твердження 1.

Однорідна крайова задача (1),(2) має нетривіальний розв'язок тоді і лише тоді, коли розв’язки та лінійно залежні.

Доведення.

Нехай неоднорідна крайова задача має нетривіальний розв'язок . Оскільки як , так і задовольняють першу крайову умову (2), а , то вронскіан цих розв’язків дорівнює нулю, а отже, вони лінійно залежні. Так само можна довести лінійну залежність розв’язків та . Звідси випливає, що та також лінійно залежні.

Похожий материал - Контрольная работа: Умножение матрицы. Теория вероятности

Навпаки,нехай зазначені розв’язки лінійно залежні. Тоді для деякої сталої маємо . Тепер зрозуміло,що, наприклад, функція := є розв’язком однорідної крайової задачі. Твердження доведено.

Звідси можна зробити висновок, що множина всіх розв’язків задачі – це сім’я функцій вигляду, , де - довільна стала. Тому, не обмежуючи загальності викладу, вважатимемо, що вибрано так, щоб справджувалась умова нормування

Необхідну умову існування розв’язку неоднорідної крайової задачі встановлює таке твердження.

Твердження 2.

Очень интересно - Контрольная работа: Универсальная тригонометрическая подстановка

Якщо задача

(3)

(2)

Має розв’язок , то функція ортогональна до нетривіального розв’язку відповідної крайової задачі (1),(2), тобто

(4)

Вам будет интересно - Дипломная работа: Упругопластическая деформация трубы

Доведення.

Застосуємо формулу Гріна до пари функцій та . Оскільки вони задовольняють крайові умови то згідно з властивістю симетричності оператора маємо:

Урахувавши, що і, дістанемо(4). Зауважимо, що при довільному функція теж є розв’язком задачі (3),(2). Аби уникнути такої неоднозначності, умови (2) слід доповнити ще однією. Найприроднішою додатковою умовою є вимога ортогональності

(5)

Похожий материал - Курсовая работа: Уравнение и функция Бесселя

Твердження 3.

Якщо задача (3),(2),(5) має розв’язок ,то він єдиний.

Доведення.

Справді, різниця двох розв’язків задачі (3),(2),(5) є розв’язком вигляду відповідної однорідної задачі. З умови (5) та нормованості функції одразу випливає, що